Que la razón entre la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro sea una constante universal, a la que los griegos llamaron Pi, fue un gran descubrimiento de la antigüedad. Sobre pi poseemos una extensa gama de conocimientos: su desarrollo decimal comienza con 3,14159… (con la ayuda de las modernos supercomputadores conocemos hoy cientos de miles de millones de sus cifras decimales); es un número irracional, es decir, no es igual al cociente de dos enteros; no es tampoco raíz de ningún polinomio cuyos coeficientes sean enteros, y eso implica que el círculo no puede ser cuadrado con regla y compás.
No obstante, pi reserva todavía muchos misterios a los matemáticos del siglo XXI, y su historia está plagada de anécdotas jugosas y relaciones interesantes. Una de mis favoritas es la siguiente: si sumamos los recíprocos de todos los números enteros elevados al cuadrado, se obtiene pi al cuadrado dividido por 6 (el recíproco de un entero n es la fracción 1/n). No deja de sorprenderme que la razón entre la circunferencia y su diámetro aparezca en una suma en la que están los recíprocos de los cuadrados de todos los números.
Me confieso afortunado por haber logrado una nueva manera de calcular el valor de esa suma, que puede entender un estudiante avanzado de secundaria, y que ilustra claramente como, para demostrar una verdad sobre algo tan discreto como son los enteros, resulta conveniente echar mano de utensilios “continuos” del cálculo diferencial. No obstante, el primero en saber su valor fue el gran Leonhard Euler, hacia 1734. Euler definió para cada número entero n la función z(n) como la suma de los recíprocos de las n-ésimas potencias de enteros. Obtuvo una fórmula general que involucra al número Pi cuando la potencia es un número par, pero el caso de exponente impar es todavía terra incognita. En el año 1978 el matemático francés Roger Apery demostró que la suma de los recíprocos de los cubos de los números enteros es un número irracional, pero su ingeniosa demostración no sirve para otros impares.
Euler ya se dio cuenta de la importancia de la función z(n) en la teoría de los números primos, pero fue el matemático alemán Bernard Riemann quién desveló las consecuencias que las propiedades de la función z(s), con s no necesariamente entero, tienen para conocer la distribución de los números primos en la sucesión de los enteros. Así se logró demostrar el llamado “Teorema de los Números Primos”, que dice que la densidad de primos en torno a un número n es proporcional a 1/(número de cifras de n). Una de las predicciones importantes que hizo Riemann sobre su función, la llamada “Hipótesis de Riemann”, se ha resistido hasta ahora a los matemáticos y forma parte de esa colección de “Problemas del Milenio” que tienen asignada una recompensa de un millón de dólares.
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